Les fonctions polynômes de degré 2

On lâche un objet d'une hauteur de 80 m. Sa hauteur, en mètres, t secondes plus tard, est $h(t) = 80 - 5t^{2}$.
a) Au bout de combien de secondes l'objet touche-t-il le sol ?
b) À quel instant l'objet se trouve-t-il à 35 m du sol ?

Une photo carrée de 20 cm de côté est entourée d'un cadre de largeur x cm, sur tout son tour. L'ensemble forme un carré.
a) Exprime le côté du grand carré en fonction de x.
b) Écris l'équation qui traduit une aire totale de 900 cm².
c) Détermine la largeur du cadre pour que l'aire totale soit de 900 cm².

Deux nombres ont pour différence 6 : on les note x et $x + 6$.
a) Exprime leur produit $P(x)$ et donne ses racines.
b) Donne l'axe de symétrie de la parabole représentant P.
c) Quel est le plus petit produit possible, et pour quels nombres est-il obtenu ?

Sur une feuille de 30 cm de large, on relève deux bords de hauteur x cm pour former une gouttière dont la section est un rectangle.
a) Exprime l'aire $S(x)$ de la section en fonction de x.
b) Écris $S(x)$ sous forme factorisée et donne ses racines.
c) Quelle hauteur de bord rend l'aire de la section maximale, et combien vaut cette aire maximale ?

Soit $f(x) = x^{2}$ et $g(x) = 2x + 8$.
a) Vérifie que 4 est une racine de $x^{2} - 2x - 8$.
b) Factorise $f(x) - g(x)$.
c) Sur quels intervalles la parabole de f est-elle au-dessus de la droite de g ?

Un pont en arche est modélisé par $h(x) = -0{,}05x(x - 40)$, où x est la distance en mètres depuis un pied de l'arche et $h(x)$ la hauteur en mètres.
a) Quelle est la largeur de l'arche au sol ?
b) Quelle est la hauteur maximale de l'arche ?
c) Un camion de 4 m de large passe exactement au milieu de l'arche : quelle hauteur l'arche offre-t-elle au-dessus des bords du camion ?

Un cinéma vend 400 places à 8 € chacune. Chaque hausse de 1 € du prix fait perdre 25 spectateurs. On note x le nombre de hausses de 1 €.
a) Exprime le prix d'une place et le nombre de spectateurs en fonction de x.
b) Montre que la recette vaut $R(x) = -25(x + 8)(x - 16)$.
c) Quel prix rend la recette maximale, et combien vaut cette recette ?

Soit $f(x) = -2x^{2} + 2x + 24$.
a) Vérifie que $-3$ est une racine de f.
b) Factorise f.
c) Pour quelles valeurs de x a-t-on $f(x) \ge 0$ ?
d) Détermine le maximum de f.

Une parabole, courbe d'une fonction f, coupe l'axe des abscisses en $-3$ et en 5, et son sommet a pour ordonnée 32.
a) Donne l'abscisse du sommet.
b) Détermine le coefficient a de la forme $a(x + 3)(x - 5)$.
c) Donne l'expression développée de $f(x)$.

La courbe d'une fonction polynôme f de degré 2 passe par les points $A(-2 \,;\, 16)$ et $B(8 \,;\, 16)$, et coupe l'axe des abscisses à l'origine.
a) Donne l'axe de symétrie de la parabole.
b) Donne la seconde racine de f.
c) Détermine l'expression factorisée de f et son minimum.