Séries à deux variables quantitatives et ajustement affine

🟠 Difficile

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1
Pour la série $(1 \,;\, 10)$ , $(2 \,;\, 13)$ , $(3 \,;\, 13)$ , $(4 \,;\, 16)$ , $(5 \,;\, 19)$ , $(6 \,;\, 19)$ :
a) calcule le point moyen G ;
b) détermine la droite de Mayer ;
c) vérifie que G est sur cette droite.
Voir le corrigéoffert
a) $G\left(\frac{21}{6} \,;\, \frac{90}{6}\right) = (3{,}5 \,;\, 15)$ .

b) $G_{1}\left(2 \,;\, \frac{36}{3}\right) = (2 \,;\, 12)$ et $G_{2}\left(5 \,;\, \frac{54}{3}\right) = (5 \,;\, 18)$ .
$a = \frac{18 - 12}{5 - 2} = 2$ et $12 = 2 \times 2 + b$ donne $b = 8$ .
La droite de Mayer a pour équation $y = 2x + 8$ .

c) $2 \times 3{,}5 + 8 = 15$ : G est bien sur la droite.
2
Au laboratoire, on mesure une grandeur y pour cinq valeurs de x : $(0 \,;\, 0{,}1)$ , $(1 \,;\, 2{,}1)$ , $(2 \,;\, 3{,}9)$ , $(3 \,;\, 6{,}2)$ , $(4 \,;\, 7{,}9)$ . La calculatrice donne la droite des moindres carrés $y = 1{,}97x + 0{,}1$ .
a) Calcule le point moyen G et vérifie qu'il est sur cette droite.
b) Estime x quand $y = 5$ , arrondi au dixième.
Voir le corrigéoffert
a) $G\left(\frac{10}{5} \,;\, \frac{20{,}2}{5}\right) = (2 \,;\, 4{,}04)$ .
$1{,}97 \times 2 + 0{,}1 = 4{,}04$ : G est bien sur la droite.

b) $1{,}97x + 0{,}1 = 5$ donne $1{,}97x = 4{,}9$ , donc $x = \frac{4{,}9}{1{,}97} \approx 2{,}5$ .
C'est une interpolation : 2,5 est entre 0 et 4.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Pour la série $(0 \,;\, 1)$ , $(1 \,;\, 3)$ , $(2 \,;\, 4)$ , $(3 \,;\, 7)$ , on compare la droite $D_{1} : y = 2x + 1$ et la droite des moindres carrés $D_{2} : y = 1{,}9x + 0{,}9$ .
a) Calcule la somme S des carrés des écarts pour chacune.
b) Le résultat est-il cohérent avec la définition des moindres carrés ?
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4
La hauteur y (en cm) d'une jeune plante, mesurée du jour 0 au jour 20, est bien ajustée par $y = 1{,}2x + 3$ .
a) Estime la hauteur au jour 15.
b) Estime la hauteur au jour 300. Ce résultat est-il plausible ?
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5
Une série a pour point moyen $G(10 \,;\, 45)$ . On ajuste au jugé par la droite passant par G et par le point $(2 \,;\, 21)$ .
a) Détermine son équation.
b) Pour quelle valeur de x cette droite donne-t-elle $y = 60$ ?
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6
Pour la série de huit points $(1 \,;\, 20)$ , $(2 \,;\, 24)$ , $(3 \,;\, 25)$ , $(4 \,;\, 29)$ , $(5 \,;\, 33)$ , $(6 \,;\, 34)$ , $(7 \,;\, 38)$ , $(8 \,;\, 41)$ :
a) calcule $G_{1}$ (quatre premiers points) et $G_{2}$ (quatre derniers) ;
b) détermine la droite de Mayer ;
c) estime y pour $x = 10$ , avec la réserve d'usage.
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7
Dans un tableur, les abscisses sont en A2:A7 et les ordonnées en B2:B7. La cellule D2 contient =PENTE(B2:B7;A2:A7) et affiche $1{,}8$ ; la cellule D3 contient =ORDONNEE.ORIGINE(B2:B7;A2:A7) et affiche $4{,}2$ .
a) Quelle droite le tableur a-t-il calculée ?
b) Quelle formule taper en D4 pour estimer y quand x vaut 10 ? Que doit-elle afficher ?
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8
Dans une ville, on relève chaque semaine d'été le nombre de ventilateurs vendus et la consommation d'eau. Le nuage est nettement croissant et l'ajustement affine est excellent.
a) Les ventilateurs font-ils consommer de l'eau ?
b) Quelle grandeur peut expliquer les deux ?
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9
Une entreprise ajuste le coût de production y (en milliers d'euros) en fonction du nombre x d'objets fabriqués (en centaines, de 2 à 12) par $y = 4{,}5x + 18$ .
a) Interprète 18.
b) L'entreprise dispose d'un budget de 72 milliers d'euros. Combien d'objets peut-elle fabriquer selon ce modèle ? Interpolation ou extrapolation ?
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10
On mesure l'allongement y (en cm) d'un ressort selon la masse x suspendue (en g) : $(50 \,;\, 2{,}1)$ , $(100 \,;\, 3{,}9)$ , $(150 \,;\, 6{,}1)$ , $(200 \,;\, 7{,}9)$ .
a) Détermine la droite de Mayer.
b) Estime l'allongement pour une masse de 120 g.
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