Séries à deux variables quantitatives et ajustement affine

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1
Les ventes y (en milliers d'euros) d'un commerce, du mois 1 au mois 8, sont : 52 ; 55 ; 61 ; 64 ; 69 ; 71 ; 77 ; 79.
Estime les ventes du mois 12. Que faut-il préciser ?
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a) $G\left(\frac{36}{8} \,;\, \frac{528}{8}\right) = (4{,}5 \,;\, 66)$ .

b) $G_{1}\left(2{,}5 \,;\, \frac{232}{4}\right) = (2{,}5 \,;\, 58)$ et $G_{2}\left(6{,}5 \,;\, \frac{296}{4}\right) = (6{,}5 \,;\, 74)$ .
$a = \frac{74 - 58}{6{,}5 - 2{,}5} = 4$ et $58 = 4 \times 2{,}5 + b$ donne $b = 48$ : $y = 4x + 48$ .
$4 \times 4{,}5 + 48 = 66$ : la droite passe bien par G.

c) Les ventes augmentent en moyenne de 4 000 € par mois.

d) $4 \times 12 + 48 = 96$ , soit environ 96 000 €.
C'est une extrapolation : il faut préciser « si la tendance se poursuit ».
2
Une étude relève la tension artérielle moyenne y (en cmHg) selon l'âge x (en années) : $(30 \,;\, 12{,}1)$ , $(40 \,;\, 12{,}5)$ , $(50 \,;\, 13{,}2)$ , $(60 \,;\, 13{,}9)$ , $(70 \,;\, 14{,}3)$ , $(80 \,;\, 15)$ .
a) Calcule le point moyen G.
b) Détermine la droite de Mayer.
c) Estime la tension moyenne à 45 ans.
d) Peut-on utiliser cette droite pour un enfant de 5 ans ?
Voir le corrigéoffert
a) $G\left(\frac{330}{6} \,;\, \frac{81}{6}\right) = (55 \,;\, 13{,}5)$ .

b) $G_{1}\left(40 \,;\, \frac{37{,}8}{3}\right) = (40 \,;\, 12{,}6)$ et $G_{2}\left(70 \,;\, \frac{43{,}2}{3}\right) = (70 \,;\, 14{,}4)$ .
$a = \frac{14{,}4 - 12{,}6}{70 - 40} = \frac{1{,}8}{30} = 0{,}06$ et $12{,}6 = 0{,}06 \times 40 + b$ donne $b = 10{,}2$ : $y = 0{,}06x + 10{,}2$ .

c) $0{,}06 \times 45 + 10{,}2 = 12{,}9$ cmHg (interpolation).

d) Non : 5 ans est très loin de la plage observée (30 à 80 ans), et l'organisme d'un enfant ne suit pas la tendance des adultes. Cette extrapolation n'a pas de sens.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
La production y (en tonnes) d'une coopérative est : 310 en 2019, 325 en 2020, 343 en 2021, 355 en 2022, 372 en 2023, 386 en 2024. On pose $x = 0$ pour 2019.
a) Calcule le point moyen.
b) Détermine la droite de Mayer.
c) En quelle année la production dépasserait-elle 450 tonnes selon ce modèle ?
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4
Le nombre y de cellules d'une culture (en milliers), heure par heure, est : 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 pour x allant de 0 à 4.
La droite de Mayer des quatre premiers points est $y = 4{,}5x + 0{,}75$ . Que prévoit-elle pour $x = 4$ ? Compare à la valeur observée.
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5
Pour une série de six points rangés par x croissants, les trois premiers ont pour point moyen $G_{1}(2 \,;\, 9)$ et les trois derniers $G_{2}(8 \,;\, 21)$ .
a) Calcule les coordonnées du point moyen G des six points.
b) Montre que G est le milieu de $[G_{1}G_{2}]$ .
c) Déduis-en, sans calcul supplémentaire, que G est sur la droite de Mayer.
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6
Pour doser un colorant, on dispose de la droite d'étalonnage $A = 0{,}12c + 0{,}02$ , obtenue pour des concentrations c de 0 à 5 mg/L (A est l'absorbance).
Une autre a une absorbance de $1{,}1$ . Estime sa concentration. Que conseiller au technicien ?
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7
Une série de quatre points a pour point moyen $G(6 \,;\, 20)$ . On ajoute le point $(16 \,;\, 40)$ .
Explique pourquoi le point moyen s'est déplacé vers le nouveau point.
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8
Le stock y (en tonnes) d'un entrepôt, relevé du jour 0 au jour 30, est ajusté par $y = -0{,}8x + 50$ .
a) Estime le stock au jour 20.
b) Selon ce modèle, quand le stock passera-t-il sous 10 tonnes ?
c) Le gestionnaire doit-il faire confiance à cette date ?
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9
Pour la série $(1 \,;\, 4)$ , $(2 \,;\, 7)$ , $(3 \,;\, 7)$ , $(4 \,;\, 10)$ , deux élèves tracent une droite au jugé : Inès propose $y = 2x + 2$ , Hugo propose $y = 2x + 2{,}5$ .
Calcule la somme S des carrés des écarts pour chacune. Laquelle ajuste le mieux ?
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10
Dans un tableur, les $x_{i}$ sont en A2:A6 et les $y_{i}$ en B2:B6. On veut calculer, pour la droite $y = 2x + 1$ , la somme S des carrés des écarts.
Les points sont $(1 \,;\, 3)$ , $(2 \,;\, 6)$ , $(3 \,;\, 7)$ , $(4 \,;\, 8)$ , $(5 \,;\, 11)$ . Quelle valeur le tableur affiche-t-il pour S ?
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