Séries à deux variables et ajustement affine

Dans 20 pays, on relève la consommation annuelle de chocolat par habitant et le nombre de prix Nobel par million d'habitants. Le nuage est nettement croissant et l'ajustement affine est très bon.
a) Peut-on en conclure que manger du chocolat aide à obtenir un prix Nobel ?
b) Quelle variable pourrait expliquer les deux séries à la fois ?
c) Que peut-on affirmer, et que ne peut-on pas affirmer, à partir de cet ajustement ?

Pour la série $(0 \,;\, 1)$, $(1 \,;\, 4)$, $(2 \,;\, 5)$, $(3 \,;\, 8)$, on propose $D_{1} : y = 2{,}2x + 1{,}2$ et $D_{2} : y = x + 3$.
a) Calcule la somme des écarts (sans les élever au carré) pour chacune des deux droites.
b) Calcule la somme des carrés des écarts pour chacune.
c) Quelle droite ajuste le mieux la série ?

Un étalonnage relève la tension U (en V) d'un capteur selon la température T (en °C) : $(0 \,;\, 0{,}30)$, $(10 \,;\, 0{,}52)$, $(20 \,;\, 0{,}69)$, $(30 \,;\, 0{,}91)$. On propose l'ajustement $U = 0{,}02T + 0{,}3$.
a) Calcule les quatre écarts.
b) Calcule la somme des carrés des écarts.
c) Le capteur indique $0{,}80$ V. Estime la température.

Le prix y d'une voiture d'occasion, en milliers d'euros, selon son âge x en années, est relevé : $(1 \,;\, 18)$, $(2 \,;\, 15{,}5)$, $(3 \,;\, 13{,}5)$, $(4 \,;\, 11)$, $(5 \,;\, 9)$. On propose l'ajustement $y = -2{,}2x + 20$.
a) Calcule la somme des carrés des écarts.
b) Interprète le coefficient $-2{,}2$ avec son unité.
c) Estime le prix d'une voiture de 12 ans avec cet ajustement, et dis si le résultat a un sens.

Pour la série $(1 \,;\, 4)$, $(2 \,;\, 6)$, $(3 \,;\, 9)$, $(4 \,;\, 11)$, un algorithme teste les droites $y = ax + 1$ pour quatre valeurs de a.
a) Calcule la somme des carrés des écarts pour $a = 2{,}2$.
b) Calcule-la pour $a = 2{,}4$, $a = 2{,}6$ et $a = 2{,}8$.
c) Parmi les valeurs $2{,}2$ ; $2{,}4$ ; $2{,}6$ et $2{,}8$, laquelle donne le meilleur ajustement ?

Une série sur cinq années donne $(1 \,;\, 52)$, $(2 \,;\, 55)$, $(3 \,;\, 59)$, $(4 \,;\, 62)$, $(5 \,;\, 66)$. On propose les droites $D_{1} : y = 3{,}5x + 48{,}4$ et $D_{2} : y = 3{,}6x + 48$.
a) Calcule la somme des carrés des écarts pour $D_{1}$.
b) Calcule-la pour $D_{2}$.
c) Estime la valeur au rang 8 avec la droite $y = 3{,}5x + 48{,}4$, en précisant la réserve d'usage.

Une série donne $(1 \,;\, 10)$, $(2 \,;\, 12)$, $(3 \,;\, 14)$, $(4 \,;\, 30)$, $(5 \,;\, 18)$ : la valeur 30 est sans doute une erreur de saisie. On compare $D_{1} : y = 2x + 8$ et $D_{2} : y = 3x + 9{,}6$.
a) Calcule la somme des carrés des écarts pour $D_{1}$.
b) Calcule-la pour $D_{2}$.
c) Quelle droite le critère des moindres carrés désigne-t-il, et quel point en est responsable ?

Une droite $y = 2x + 30$ a été ajustée sur des données allant de $x = 0$ à $x = 10$, avec des écarts qui ne dépassent jamais 1. On relève ensuite un nouveau point $(14 \,;\, 50)$.
a) Calcule la valeur prédite par la droite pour $x = 14$.
b) Calcule l'écart du nouveau point à la droite.
c) Que suggère cet écart sur l'usage de la droite au-delà de $x = 10$ ?

Le coût de production y, en euros, de x unités est ajusté par $y = 4{,}2x + 350$, à partir de relevés allant de 50 à 300 unités.
a) Interprète $4{,}2$ et 350.
b) Estime le coût de production de 180 unités.
c) Avec un budget de $2\,000$ €, combien d'unités au maximum cet ajustement permet-il de produire ? Précise la réserve.

Le record du monde d'une course, en secondes, est ajusté par $y = -0{,}01x + 10{,}4$, où x est le nombre d'années écoulées depuis 1960, à partir des records de 1960 à 2010.
a) Estime le record en 2000.
b) En quelle année la droite prédit-elle un record de $9{,}5$ secondes ?
c) En quelle année ce modèle prévoit-il un record de 0 seconde, et que penser de cette prévision ?