Bac de maths 2024 Amérique du Nord : sujet et corrigé

Partie A, 1. Arbre pondéré et $P(R\cap E)$

On traduit l'énoncé. La probabilité de tirer un objet rare est $P(R)=0{,}07$, donc $P(\overline{R})=1-0{,}07=0{,}93$. Si l'objet est rare, la probabilité que ce soit une épée est $P_R(E)=0{,}80$, donc $P_R(\overline{E})=0{,}20$. Si l'objet est commun, $P_{\overline{R}}(E)=0{,}40$, donc $P_{\overline{R}}(\overline{E})=0{,}60$.
On lit le chemin « rare puis épée » sur l'arbre : $P(R\cap E)=P(R)\times P_R(E)=0{,}07\times 0{,}80=0{,}056$.

Kala t'explique :Sur un arbre, une PROBABILITÉ SUR UNE BRANCHE est toujours conditionnelle (elle suppose que l'étape d'avant s'est produite). Pour trouver la proba d'un chemin complet, tu MULTIPLIES toutes les branches que tu rencontres. Ici : $0{,}07 \times 0{,}80 = 0{,}056$. Facile, non ?

Partie A, 2. Probabilité de tirer une épée

L'événement E (tirer une épée) se réalise par deux chemins incompatibles : $R\cap E$ et $\overline{R}\cap E$. D'après la formule des probabilités totales :
$P(E)=P(R\cap E)+P(\overline{R}\cap E)=0{,}056+0{,}93\times 0{,}40=0{,}056+0{,}372=0{,}428$.
La probabilité de tirer une épée est donc 0,428.

Partie A, 3. Probabilité que ce soit rare sachant que c'est une épée

On cherche $P_E(R)$, probabilité que l'objet soit rare sachant qu'une épée a été tirée :
$P_E(R)=\frac{P(R\cap E)}{P(E)}=\frac{0{,}056}{0{,}428}\approx 0{,}131$ (arrondi au millième).

Kala t'explique :Repère bien le sens ! On CONNAÎT « c'est une épée » et on CHERCHE « c'est rare » : c'est une proba conditionnelle, tu remontes l'arbre à l'envers. Tu prends le bon chemin (0,056) et tu le divises par TOUTES les épées (0,428). Résultat $\approx 0{,}131$.

Partie B, 1. Loi de X, paramètres et espérance

On répète 30 fois la même épreuve de Bernoulli (tirer un objet), de façon indépendante. Le succès est « obtenir un objet rare », de probabilité $p=0{,}07$. La variable X, qui compte le nombre de succès, suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0{,}07$ :
X∼B(30 ; 0,07).
Son espérance est $E(X)=n\times p=30\times 0{,}07=2{,}1$.

Kala t'explique :Le réflexe binomiale : « on répète n fois la MÊME expérience, de façon INDÉPENDANTE, avec succès/échec ». Coche ces trois cases et tu écris X∼$B(n \,;\, p)$. L'espérance $np=2{,}1$, c'est le nombre moyen d'objets rares que tu ramasses en 30 défis.

Partie B, 2. Calcul de $P(X<6)$

$P(X<6)=P(X\le 5)$ car X ne prend que des valeurs entières. À la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) :
$P(X\le 5)\approx 0{,}984$.
Donc $P(X<6)\approx 0{,}984$ (arrondi au millième).

Partie B, 3. Plus grande valeur de k telle que $P(X\ge k)\ge 0{,}5$

On utilise $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$ :
$P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)\approx 1-0{,}369=0{,}631\ge 0{,}5$ ;
$P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)\approx 1-0{,}649=0{,}351<0{,}5$.
La plus grande valeur cherchée est donc $k=2$.
Interprétation : il y a plus d'une chance sur deux (environ 0,63) qu'un joueur obtienne au moins 2 objets rares au cours de ses 30 défis.

Partie B, 4. Nombre minimum d'objets à tirer

On tire N objets indépendamment, chacun rare avec probabilité 0,07. Le nombre Y d'objets rares suit B(N ; 0,07). La probabilité d'en obtenir au moins un est :
P(Y≥1)=1−P(Y=0)=1−0,9$3^{N}$.
On veut 1−0,9$3^{N}$≥0,95, soit 0,9$3^{N}$≤0,05.
On applique la fonction ln (croissante) : N×ln(0,93)≤ln(0,05). Comme ln(0,93)<0, la division change le sens de l'inégalité :
N≥$\frac{ln(0{,}05)}{ln(0{,}93)}$≈41,3.
Le plus petit entier convenable est N=42.
Vérification : 1−0,9$3^{41}$≈0,949<0,95 et 1−0,9$3^{42}$≈0,953≥0,95. Il faut donc tirer au minimum 42 objets.

Kala t'explique :« Au moins un » est le contraire de « aucun ». Au lieu de sommer plein de cas, tu calcules 1 − P(aucun rare) = 1 − 0,9$3^{N}$. Ensuite, pour trouver N, tu passes au ln : c'est l'outil qui fait « descendre » l'exposant. N'oublie pas de retourner l'inégalité quand tu divises par ln(0,93), qui est négatif !