Bac de maths 2023 Polynésie : sujet et corrigé

Modélisation par un arbre pondéré

On note J : « avoir moins de 35 ans » et T : « utiliser le vélo dans ses déplacements professionnels ». D'après l'énoncé : $P(J)=0{,}21$ donc $P(\overline{J})=0{,}79$. Chez les moins de 35 ans, 68 % roulent uniquement pour le loisir, donc 32 % pour le travail : $P_J(T)=0{,}32$ et $P_J(\overline{T})=0{,}68$. Chez les 35 ans ou plus, 20 % roulent pour le travail : $P_{\overline{J}}(T)=0{,}20$ et $P_{\overline{J}}(\overline{T})=0{,}80$. On reporte ces valeurs sur l'arbre.

A.1. Probabilité d'avoir moins de 35 ans ET de rouler pour le travail

On suit la branche J puis la branche T de l'arbre, en multipliant les probabilités rencontrées : $P(J\cap T)=P(J)\times P_J(T)=0{,}21\times 0{,}32=0{,}0672$.

A.2. Valeur exacte de P(T)

L'événement T est atteint par deux chemins : $J\cap T$ et $\overline{J}\cap T$. On calcule le second : $P(\overline{J}\cap T)=P(\overline{J})\times P_{\overline{J}}(T)=0{,}79\times 0{,}20=0{,}158$. D'après la formule des probabilités totales : $P(T)=P(J\cap T)+P(\overline{J}\cap T)=0{,}0672+0{,}158=0{,}2252$.

Kala t'explique :Astuce : pour trouver P(T), imagine toutes les routes qui mènent au village « travail ». Il y en a deux, celle des jeunes (J) et celle des moins jeunes (J̄). Tu additionnes les deux chemins et c'est gagné !

A.3. Sachant qu'il roule pour le travail, montrer que $P(\text{moins de} 35\,\text{ans}) \approx 0{,}30$

On cherche la probabilité conditionnelle $P_T(J)$, c'est-à-dire « parmi ceux qui roulent pour le travail, la part des moins de 35 ans » : $P_T(J)=\frac{P(J\cap T)}{P(T)}=\frac{0{,}0672}{0{,}2252}\approx 0{,}298$. Arrondi au centième : $P_T(J)\approx 0{,}30$, soit 0,30 à $10^{-2}$ près.

B.1. Nature et paramètres de la loi de X

On répète 120 fois, de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une même épreuve à deux issues : « avoir moins de 35 ans » (succès, probabilité 0,30) ou non (échec, probabilité 0,70). X compte le nombre de succès : X suit donc la loi binomiale de paramètres n=120 et p=0,30, notée B(120 ; 0,30).

B.2. Probabilité qu'au moins 50 personnes aient moins de 35 ans

On veut $P(X\ge 50)$. On passe par l'événement contraire : $P(X\ge 50)=1-P(X\le 49)$. La calculatrice donne $P(X\le 49)\approx 0{,}99565$, d'où $P(X\ge 50)\approx 0{,}004$ (à $10^{-3}$ près). Un tel résultat est peu probable, ce qui est cohérent car en moyenne on attend seulement $n\times p=120\times 0{,}30=36$ personnes de moins de 35 ans.

Kala t'explique :Quand tu répètes plein de fois la même expérience « ça marche / ça marche pas » avec toujours la même chance, pense loi binomiale ! Ici 120 personnes, chacune 0,30 de chance : B(120 ; 0,30). Et pour « au moins 50 », le réflexe malin c'est de calculer le contraire : $1 - P(X\le 49)$.