Bac de maths 2023 Métropole jour 2 : sujet et corrigé

Données de l'énoncé

Un joueur choisit le monde A ou le monde B, puis gagne ou perd. On sait que $P(A) = \frac{2}{5}$, que $P_A(G) = \frac{7}{10}$ (probabilité de gagner sachant qu'on a choisi A) et que $P(G) = \frac{12}{25}$. On résume la situation par un arbre pondéré, très utile pour les questions 1 et 2.

3. Gagner exactement 6 parties sur 10

Réponse c : 0,188. Le nombre X de parties gagnées sur 10 tirages avec remise suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = \frac{12}{25}$. Le coefficient binomial « 6 parmi 10 » vaut 210, donc $P(X = 6) = 210 \times (\frac{12}{25})^6 \times (\frac{13}{25})^4 \approx 0{,}18780 \approx 0{,}188$.

4. Valeur de n telle que $P(X \le n) \approx 0{,}207$

Réponse b : $n = 3$. On calcule les probabilités cumulées de la loi binomiale : $P(X \le 2) \approx 0{,}070$ et $P(X \le 3) \approx 0{,}207$. La valeur cherchée est donc $n = 3$.

5. Gagner au moins une partie

Réponse d : $1 - (\frac{13}{25})^{10}$. « Gagner au moins une partie » est l'événement contraire de « ne gagner aucune partie ». Comme la probabilité de perdre une partie est $1 - \frac{12}{25} = \frac{13}{25}$, on a $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (\frac{13}{25})^{10}$.

Kala t'explique :Petit réflexe qui fait gagner du temps : dès que tu vois « au moins un », passe par le contraire ! Calculer « zéro victoire » (un seul terme), c'est bien plus rapide que d'additionner les cas 1, 2, 3… jusqu'à 10 parties gagnées.