Bac de maths 2024 Asie : sujet et corrigé

Partie A, 1. Tableau des variations de f sur $[0 \,;\, 5]$ par lecture graphique

On lit le sens de variation directement sur la courbe C.
La courbe part très bas près de 0, monte jusqu'à un sommet, puis redescend.

• f est croissante sur $[0 \,;\, 1{,}5]$
• f est décroissante sur $[1{,}5 \,;\, 5]$

Le maximum est atteint en $x = 1{,}5$ et vaut environ 2,4.
Aux bornes : $f(0) \approx -5{,}4$ (la courbe plonge sous l'axe) et $f(5) \approx 0{,}3$.

Tableau des variations :
x : 0 1,5 5
f : $-5{,}4$ ↗ 2,4 ↘ 0,3

Kala t'explique :Astuce lecture graphique : suis la courbe de gauche à droite comme un skieur. Tant qu'elle grimpe, f augmente ; dès qu'elle redescend, f diminue. Le point le plus haut (ici vers $x = 1{,}5$) marque le changement. Pas besoin de calcul, juste tes yeux !

Partie A, 2. Que semble présenter la courbe C au point A ?

Au point A d'abscisse $\frac{5}{2}$, la tangente T traverse la courbe C : la courbe passe d'un côté de la tangente à l'autre.
Cela signifie que la courbe change de convexité en A.

La courbe C semble présenter un point d'inflexion au point A.

Partie A, 3. Associer f′ et f″ aux courbes C1 et C2

On compare les valeurs remarquables.

• Sur C1 : la courbe part d'environ $-26$ en $x = 0$ puis remonte vers 0.
• Sur C2 : la courbe part d'environ 16 en $x = 0$, décroît, s'annule vers $x = 1{,}5$, puis revient vers 0.

Repère 1 (le maximum de f) : f atteint son maximum en $x = 1{,}5$, donc f′ s'annule en $x = 1{,}5$. C'est le cas de C2 (elle coupe l'axe en 1,5). Donc C2 représente f′.

Repère 2 (le point d'inflexion) : le point d'inflexion est en $x = \frac{5}{2} = 2{,}5$, donc f″ s'annule en 2,5. C'est le cas de C1 (elle atteint 0 vers 2,5). Donc C1 représente f″.

Conclusion : C1 est la courbe de f″ et C2 est la courbe de f′.

Kala t'explique :La dérivée f′ s'annule aux sommets de f, et la dérivée seconde f″ s'annule aux points d'inflexion de f. Tu repères ces deux abscisses (1,5 et 2,5), tu regardes quelle courbe coupe l'axe à chaque endroit, et le tour est joué !

Partie A, 4. La courbe C3 peut-elle représenter une primitive de f ?

Une primitive F de f vérifie $F' = f$. Donc F est croissante là où $f > 0$ et décroissante là où $f < 0$.

Or, d'après la courbe C, $f(0) < 0$ (la courbe est sous l'axe près de 0) : une primitive devrait donc commencer par décroître.

Mais la courbe C3 commence par croître à partir de $x = 0$ (elle monte jusqu'à un maximum vers $x = 0{,}5$).

C'est contradictoire. Donc C3 ne peut pas être la représentation graphique d'une primitive de f.

Kala t'explique :Le lien à garder en tête : le signe de f pilote les variations de sa primitive F. f négative $\Rightarrow F$ descend, f positive $\Rightarrow F$ monte. Ici f démarre en négatif mais C3 démarre en montant : impossible, c'est éliminé direct.

Partie B, 1.a. Montrer que $f'(x) = (-4x + 6)e^{-x+1}$

$f(x) = (4x - 2)e^{-x+1}$ est un produit $u \times v$ avec :
• $u(x) = 4x - 2$, donc $u'(x) = 4$
• $v(x) = e^{-x+1}$, donc $v'(x) = -e^{-x+1}$

Formule $(uv)' = u'v + uv'$ :
$f'(x) = 4\cdot e^{-x+1} + (4x - 2)\cdot (-e^{-x+1})$
$f'(x) = e^{-x+1}\cdot [4 - (4x - 2)]$
$f'(x) = e^{-x+1}\cdot (4 - 4x + 2)$
$f'(x) = (-4x + 6)e^{-x+1}$ ✓

Partie B, 1.b. Tableau complet des variations de f sur $[0 \,;\, +\infty [$

Le facteur $e^{-x+1}$ est toujours strictement positif, donc f′(x) a le signe de $(-4x + 6)$.

$-4x + 6 > 0$ ⟺ $x < \frac{6}{4} = 1{,}5$

Donc :
• $f'(x) > 0$ sur $[0 \,;\, 1{,}5[ \to f$ croissante
• $f'(x) < 0$ sur $]1{,}5 \,;\, +\infty [ \to f$ décroissante

Valeurs : $f(0) = (-2)e^{1} = -2e \approx -5{,}44$.
Maximum : $f(1{,}5) = (6 - 2)e^{-0{,}5} = 4e^{-1/2} \approx 2{,}43$.
Limite admise : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = 0$.

Tableau :
x : $0 1{,}5 +\infty$
f′ : $\mathord{}+ 0$ −
f : $-2e$ ↗ $4e^{-1/2}$ ↘ 0

Partie B, 1.c. Convexité et point d'inflexion

On dérive $f'(x) = (-4x + 6)e^{-x+1}$ (produit u v).
• $u = -4x + 6$, $u' = -4$
• $v = e^{-x+1}$, $v' = -e^{-x+1}$

$f''(x) = -4\cdot e^{-x+1} + (-4x + 6)(-e^{-x+1})$
$f''(x) = e^{-x+1}\cdot [-4 + 4x - 6]$
$f''(x) = (4x - 10)e^{-x+1}$

$e^{-x+1} > 0$, donc f″(x) a le signe de $(4x - 10)$.
$4x - 10 > 0$ ⟺ $x > \frac{10}{4} = 2{,}5$

• $f'' < 0$ sur $[0 \,;\, 2{,}5[$ : f est concave
• $f'' > 0$ sur $]2{,}5 \,;\, +\infty [$ : f est convexe

f″ s'annule en changeant de signe en $x = 2{,}5$ : la courbe présente un point d'inflexion d'abscisse $x = \frac{5}{2} = 2{,}5$ (ce qui confirme le point A de la Partie A).

Kala t'explique :Convexe ou concave ? Pense à un bol. Convexe $= \text{bol}$ à l'endroit (il retient l'eau, $f'' > 0$), concave $= \text{bol}$ renversé $(f'' < 0)$. Le point d'inflexion, c'est pile l'endroit où le bol se retourne : ici $x = 2{,}5$.

Partie B, 2.a. Déterminer a et b pour que F soit une primitive de f

$F(x) = (ax + b)e^{-x+1}$. On dérive (produit) :
• $u = ax + b$, $u' = a$
• $v = e^{-x+1}$, $v' = -e^{-x+1}$

$F'(x) = a\cdot e^{-x+1} + (ax + b)(-e^{-x+1})$
$F'(x) = e^{-x+1}\cdot [a - ax - b]$
$F'(x) = e^{-x+1}\cdot (-ax + a - b)$

On veut $F' = f$, c'est-à-dire $F'(x) = (4x - 2)e^{-x+1}$. Par identification :
• coefficient de x : $-a = 4$ ⟹ $a = -4$
• terme constant : $a - b = -2$ ⟹ $-4 - b = -2$ ⟹ $b = -2$

Donc $a = -4$ et $b = -2$, et $F(x) = (-4x - 2)e^{-x+1}$.

Partie B, 2.b. Valeur exacte et approchée de l'intégrale I

On admet que $F(x) = (-4x - 2)e^{-x+1}$ est une primitive de f.
I = ∫ de $\frac{3}{2}$ à 8 de $f(x) dx = F(8) - F(\frac{3}{2})$.

$F(8) = (-32 - 2)e^{-8+1} = -34e^{-7}$
$F(\frac{3}{2}) = (-6 - 2)e^{-3/2+1} = -8e^{-1/2}$

$I = -34e^{-7} - (-8e^{-1/2}) = 8e^{-1/2} - 34e^{-7}$

Valeur exacte : $I = 8e^{-1/2} - 34e^{-7}$
Valeur approchée : $I \approx 4{,}82$ (à $10^{-2}$ près).

Kala t'explique :Rappel intégrale : ∫ de a à b, c'est toujours $F(\text{borne du haut}) - F(\text{borne du bas})$. Ne mélange pas l'ordre, sinon le signe se retourne ! Ici on fait bien $F(8) - F(1{,}5)$.

Partie B, 3.a. Hauteur du point de départ D (au cm près)

Le point de départ D correspond à l'extrémité gauche du profil, donc à $x = \frac{3}{2}$.
$\text{Hauteur} = f(\frac{3}{2}) = (4\times 1{,}5 - 2)e^{-1{,}5+1} = (6 - 2)e^{-0{,}5} = 4e^{-1/2}$.

$4e^{-1/2} \approx 2{,}4261\,\text{m}$.

Au cm près, la hauteur du point de départ D est d'environ 2,43 m.

Partie B, 3.b. Nombre de bombes aérosol nécessaires

La surface du mur est l'aire sous la courbe entre $x = \frac{3}{2}$ et $x = 8$, soit l'intégrale $I \approx 4{,}82\,\text{m}^{2}$.

L'artiste couvre 75 % de cette surface :
Surface peinte $= 0{,}75 \times 4{,}82124 \approx 3{,}616\,\text{m}^{2}$.

Une bombe couvre $0{,}8\,\text{m}^{2}$. Nombre de bombes nécessaire :
$3{,}616 \div 0{,}8 \approx 4{,}52$.

On ne peut pas acheter une demi-bombe, et il faut couvrir toute la surface : on arrondit à l'entier supérieur.

L'artiste devra utiliser 5 bombes.

Kala t'explique :Piège classique : quand on demande un nombre d'objets pour couvrir une surface, on arrondit toujours au-dessus. 4,52 bombes ⇒ il en faut 5, sinon il reste un bout de mur tout blanc !