Bac de maths 2024 Métropole jour 1 : sujet et corrigé

Affirmation 1 : l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à Cf, où $f(x) = 5x\cdot e^{-x}$.

Méthode : on cherche une limite finie de f en $+\infty$ ou en $-\infty$. En $+\infty$, on écrit $f(x) = 5x\cdot e^{-x} = 5 \times x/e^x$. Par croissances comparées, $x/e^x \to 0$ quand $x \to +\infty$, donc $f(x) \to 0$. La droite d'équation $y = 0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, est donc asymptote horizontale à Cf en $+\infty$. (Peu importe qu'en $-\infty$ on $\text{ait} f(x) \to -\infty$ : il suffit qu'il y ait asymptote d'un seul côté.) Conclusion : l'affirmation est VRAIE.

Affirmation 2 : f est solution sur ℝ de (E) : $y' + y = 5e^{-x}$.

Méthode : on calcule f′, puis $f' + f$, et on compare à $5e^{-x}$. $f(x) = 5x\cdot e^{-x}$. En dérivant un produit : $f'(x) = 5\cdot e^{-x} + 5x\cdot (-e^{-x}) = 5e^{-x}(1 - x)$. Alors : $f'(x) + f(x) = 5e^{-x}(1 - x) + 5x\cdot e^{-x} = 5e^{-x}(1 - x + x) = 5e^{-x}$. On retrouve exactement le second membre de (E). Conclusion : f est bien solution de (E), l'affirmation est VRAIE.

Affirmation 3 : avec $u_n \le v_n \le w_n$, $u_n \to -1$ et $w_n \to 1$, la suite $(v_n)$ converge vers un réel l de $[-1 \,;\, 1]$.

Méthode : le théorème des gendarmes n'encadre $v_n$ que si les deux suites qui l'encadrent ont la MÊME limite. Ici les limites sont différentes (−1 et 1), donc on ne peut rien conclure ; cherchons un contre-exemple. Prenons $u_n = -1$ et $w_n = 1$ pour tout n (suites constantes, qui convergent bien vers $-1$ et 1), et $v_n = (-1)^n$. On a bien $-1 \le (-1)^n \le 1$, donc $u_n \le v_n \le w_n$. Or $v_n$ vaut alternativement 1 et $-1$ : la suite $(v_n)$ ne converge pas. Conclusion : l'affirmation est FAUSSE.

Kala t'explique :Petit piège hyper classique du bac ! Le théorème des gendarmes ne marche que si tes DEUX gendarmes vont au même endroit. Ici l'un part vers $-1$ et l'autre vers 1 : le prisonnier $v_n$ peut gigoter entre les deux sans jamais se poser. D'où mon contre-exemple qui saute $(-1)^n$.

Affirmation 4 : $(u_n)$ croissante $(\to -1)$, $(w_n)$ décroissante $(\to 1)$ ; alors pour tout n, $u_0 \le v_n \le w_0$.

Méthode : on encadre $v_n$ à l'aide des monotonies. $(u_n)$ est croissante, donc pour tout n on a $u_0 \le u_n$. Comme $v_n \ge u_n$, on obtient $v_n \ge u_0$. $(w_n)$ est décroissante, donc pour tout n on a $w_n \le w_0$. Comme $v_n \le w_n$, on obtient $v_n \le w_0$. En rassemblant : $u_0 \le u_n \le v_n \le w_n \le w_0$, donc $u_0 \le v_n \le w_0$ pour tout entier naturel n. Conclusion : l'affirmation est VRAIE.

Kala t'explique :L'astuce : une suite croissante ne descend jamais sous son premier terme ($u_{0}$ est son plancher), une suite décroissante ne monte jamais au-dessus du sien ($w_{0}$ est son plafond). Coince $v_n$ entre le plancher et le plafond, et c'est gagné !