Bac de maths 2024 Polynésie : sujet et corrigé

Situation

Dans un repère orthonormé, on donne $A(2 \,;\, 1 \,;\, -1)$, $B(-1 \,;\, 2 \,;\, 1)$, $C(5 \,;\, 0 \,;\, -3)$, le plan 𝒫 : $x + 5y - 2z + 3 = 0$ et la droite 𝒟 : $x = -t+3$, $y = t+2$, $z = 2t+1 (t \in \mathbb{R} )$. On juge quatre affirmations, chaque réponse devant être justifiée.

Affirmation 1 : $\vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$ est normal au plan (OAC)

Un vecteur normal à un plan doit être orthogonal à DEUX vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan. Ici $\overrightarrow{OA}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{OC}\begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}$. On calcule : $\vec{n}\cdot \overrightarrow{OA} = 1\times 2 + 0\times 1 + 2\times (-1) = 2 - 2 = 0$, c'est bon ; mais $\vec{n}\cdot \overrightarrow{OC} = 1\times 5 + 0\times 0 + 2\times (-3) = 5 - 6 = -1 \ne 0$. Comme $\vec{n}$ n'est pas orthogonal à $\overrightarrow{OC}$, il n'est pas normal au plan (OAC). Conclusion : affirmation FAUSSE.

Kala t'explique :Astuce à graver : pour être normal à un plan, un vecteur doit être orthogonal à DEUX directions du plan, pas une seule. Un seul produit scalaire nul ne suffit jamais : vérifie toujours les deux, comme ici où le deuxième trahit le piège !

Affirmation 2 : 𝒟 et (AB) sont sécantes en C

On vérifie d'abord C ∈ 𝒟 : on cherche t tel que $(-t+3 \,;\, t+2 \,;\, 2t+1) = (5 \,;\, 0 \,;\, -3)$. La 1re coordonnée donne $-t+3 = 5$, soit $t = -2$ ; on contrôle alors $y = -2+2 = 0$ (✓) et $z = 2\times (-2)+1 = -3$ (✓). Donc C ∈ 𝒟 (pour $t = -2$). Ensuite $C \in (AB)$ ? On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix} = -\overrightarrow{AB}$, donc A, B, C sont alignés : $C \in (AB)$. Les deux droites passent par C ; leurs vecteurs directeurs $(-1 \,;\, 1 \,;\, 2)$ et $(-3 \,;\, 1 \,;\, 2)$ ne sont pas colinéaires, donc les droites sont distinctes et se coupent en C. Conclusion : affirmation VRAIE.

Affirmation 3 : 𝒟 est parallèle au plan 𝒫

Vecteur directeur de 𝒟 : $\vec{u}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$. Vecteur normal de 𝒫 : $\vec{n}_{\mathcal{P}}\begin{pmatrix}1 \\ 5 \\ -2\end{pmatrix}$. Produit scalaire : $\vec{u}\cdot \vec{n}_{\mathcal{P}} = -1\times 1 + 1\times 5 + 2\times (-2) = -1 + 5 - 4 = 0$, donc 𝒟 est parallèle à 𝒫 ou incluse dans 𝒫. On teste le point de 𝒟 pour $t = 0$, soit (3 ; 2 ; 1), dans l'équation de 𝒫 : $3 + 5\times 2 - 2\times 1 + 3 = 14 \ne 0$. Ce point n'appartient pas à 𝒫, donc 𝒟 est strictement parallèle à 𝒫. Conclusion : affirmation VRAIE.

Affirmation 4 : le plan médiateur de [BC] a pour équation $3x - y - 2z - 7 = 0$

Le plan médiateur de [BC] passe par le milieu I de [BC] et admet $\overrightarrow{BC}$ pour vecteur normal. Milieu : $I( \frac{(-1+5)}{2} \,;\, \frac{(2+0)}{2} \,;\, \frac{(1-3)}{2} ) = (2 \,;\, 1 \,;\, -1)$. Vecteur $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}6 \\ -2 \\ -4\end{pmatrix}$, colinéaire à $(3 \,;\, -1 \,;\, -2)$. Le plan proposé $3x - y - 2z - 7 = 0$ a bien pour vecteur normal $(3 \,;\, -1 \,;\, -2)$ (✓). On vérifie qu'il passe par I : $3\times 2 - 1 - 2\times (-1) - 7 = 6 - 1 + 2 - 7 = 0$ (✓). C'est donc bien le plan médiateur de [BC]. Conclusion : affirmation VRAIE.

Kala t'explique :Joli clin d'œil du sujet : le milieu de [BC] tombe pile sur le point $A(2 \,;\, 1 \,;\, -1)$ ! Pour un plan médiateur, rappelle-toi les deux ingrédients : vecteur normal $= \overrightarrow{BC}$, et il passe par le milieu. Deux vérifications, et c'est plié.