Bac de maths 2024 Métropole jour 2 : sujet et corrigé

1. Préciser P(Q) et $P_{\overline{R}}(\overline{Q})$.

L'énoncé dit que 91,7 % des étudiants ont répondu « oui » : donc $P(Q) = 0{,}917$.
Il dit aussi que 65 % des étudiants ayant échoué (donc dans R̄) ont répondu « non » (donc Q̄) : c'est une probabilité conditionnelle sachant R̄. Donc $P_{\overline{R}}(\overline{Q}) = 0{,}65$.

2.a. Recopier et compléter l'arbre pondéré.

On pose $P(R) = x$, donc $P(\overline{R}) = 1 - x$.
• Branche R : 98 % des reçus répondent « oui » donc $P_R(Q) = 0{,}98$, et $P_R(\overline{Q}) = 1 - 0{,}98 = 0{,}02$.
• Branche R̄ : on a $P_{\overline{R}}(\overline{Q}) = 0{,}65$ donc $P_{\overline{R}}(Q) = 1 - 0{,}65 = 0{,}35$.

2.b. Montrer que $x = 0{,}9$.

D'après la formule des probabilités totales (les feuilles menant à Q) :
$P(Q) = P(R)\times P_R(Q) + P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(Q) = 0{,}98x + 0{,}35(1 - x)$.
Or $P(Q) = 0{,}917$, donc :
$0{,}98x + 0{,}35 - 0{,}35x = 0{,}917$
$0{,}63x = 0{,}917 - 0{,}35 = 0{,}567$
$x = \frac{0{,}567}{0{,}63} = 0{,}9$.
Donc $x = P(R) = 0{,}9$.

Kala t'explique :Un arbre, c'est comme un plan de métro. Pour aller jusqu'à la station « Q », tu additionnes TOUS les chemins qui y arrivent, et sur chaque chemin tu MULTIPLIES les probas rencontrées. Additionner les chemins, multiplier le long d'un chemin : garde ça en tête.

3. L'étudiant a répondu « oui ». Probabilité qu'il ait réussi ?

On cherche la probabilité conditionnelle $P_Q(R)$ :
$P_Q(R) = \frac{P(R\cap Q)}{P(Q)} = \frac{0{,}9\times 0{,}98}{0{,}917} = \frac{0{,}882}{0{,}917} \approx 0{,}962$.
La probabilité qu'un étudiant ayant répondu « oui » ait réellement réussi est d'environ 0,962.

4. Note N ~ B(20 ; 0,615). À partir de quelle note récompenser pour que 65 % soient récompensés ?

On récompense les meilleurs, donc les notes supérieures ou égales à un seuil c : on veut $P(N \ge c) \approx 0{,}65$.
À la calculatrice (loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}615$) :
• $P(N \ge 11) \approx 0{,}797$ (soit 79,7 %, trop d'étudiants) ;
• $P(N \ge 12) \approx 0{,}649$ (soit $64{,}9 \% \approx 65 \%$) ;
• $P(N \ge 13) \approx 0{,}471$ (soit 47,1 %, pas assez).
C'est le seuil 12 qui donne environ 65 %. La directrice doit donc attribuer les récompenses à partir de la note 12.

5. Calculer E(S) et V(S) pour $S = N_{1} + \dots + N_{10}$.

Chaque $N_i$ suit la loi B(20 ; 0,615), donc :
$E(N_{i}) = 20 \times 0{,}615 = 12{,}3$ et $V(N_{i}) = 20 \times 0{,}615 \times 0{,}385 = 4{,}7355$.
Les $N_i$ sont indépendantes, donc l'espérance et la variance s'additionnent :
$E(S) = 10 \times 12{,}3 = 123$.
$V(S) = 10 \times 4{,}7355 = 47{,}355$.

6.a. Que modélise $M = S/10$ ?

S est la somme des dix notes ; en divisant par 10, $M = \frac{S}{10}$ représente la moyenne des notes sur 20 obtenues par les dix étudiants interrogés au hasard.

6.b. Justifier $E(M) = 12{,}3$ et $V(M) = 0{,}47355$.

Par linéarité de l'espérance : $E(M) = \frac{E(S)}{10} = \frac{123}{10} = 12{,}3$.
Pour la variance, on divise par le carré du coefficient $(10^{2} = 100)$ :
$V(M) = \frac{V(S)}{10^{2}} = \frac{47{,}355}{100} = 0{,}47355$.

6.c. Justifier l'affirmation avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

L'intervalle ]10,3 ; 14,3[ est centré sur E(M) = 12,3, avec un rayon de 12,3 − 10,3 = 2. Dire « M est strictement compris entre 10,3 et 14,3 » revient à dire |M − 12,3| < 2.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne, pour a = 2 :
P(|M − 12,3| ≥ 2) ≤ $\frac{V(M)}{2^{2}}$ = $\frac{0{,}47355}{4}$ ≈ 0,1184.
En passant à l'événement contraire :
P(10,3 < M < 14,3) = P(|M − 12,3| < 2) ≥ 1 − 0,1184 = 0,8816.
Cette probabilité est donc d'au moins 0,8816, c'est-à-dire d'au moins 88 % > 80 %. L'affirmation est bien justifiée.

Kala t'explique :L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, c'est ton garde-fou : elle te promet que les valeurs s'entassent près de la moyenne. Tu n'as même pas besoin de connaître la loi exacte ! Repère bien le centre (ici 12,3) et le rayon (ici 2), puis applique la formule : c'est presque automatique.