Bac de maths 2024 Centres étrangers jour 1 : sujet et corrigé

Partie A : étude de $f(x) = \frac{0{,}96x}{0{,}93x + 0{,}03}$ sur $[0 \,;\, 1]$. Partie B : arbre pondéré, probabilités totales et probabilité conditionnelle. La partie A sert d'outil pour interpréter la partie B.

Pour $x \in [0 \,;\, 1]$, on a $0{,}93x \geqslant 0$ donc $0{,}93x + 0{,}03 \geqslant 0{,}03 > 0$ : le dénominateur ne s'annule pas et f est dérivable sur $[0 \,;\, 1]$ comme quotient de fonctions dérivables.
On pose $u(x) = 0{,}96x$ et $v(x) = 0{,}93x + 0{,}03$, d'où $u'(x) = 0{,}96$ et $v'(x) = 0{,}93$.
$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^{2}} = \frac{0{,}96(0{,}93x + 0{,}03) - 0{,}96x \times 0{,}93}{(0{,}93x + 0{,}03)^{2}} = \frac{0{,}8928x + 0{,}0288 - 0{,}8928x}{(0{,}93x + 0{,}03)^{2}}$.
$\boxed{f'(x) = \frac{0{,}0288}{(0{,}93x + 0{,}03)^{2}}}$ pour tout $x \in [0 \,;\, 1]$.

Pour tout $x \in [0 \,;\, 1]$, le numérateur $0{,}0288$ est strictement positif et le dénominateur $(0{,}93x + 0{,}03)^{2}$ aussi (carré d'un nombre non nul). Donc $f'(x) > 0$ sur $[0 \,;\, 1]$.
$\boxed{f \text{ est strictement croissante sur } [0 \,;\, 1]}$, de $f(0) = 0$ à $f(1) = \frac{0{,}96}{0{,}96} = 1$.

D'après l'énoncé, $P(D) = x$, $P_D(T) = 0{,}96$ et $P_{\overline{D}}(T) = 0{,}03$. Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches issues de ce nœud vaut 1, donc $P_D(\overline{T}) = 1 - 0{,}96 = 0{,}04$ et $P_{\overline{D}}(\overline{T}) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97$.

On cherche $P(D \cap T)$. En suivant la branche D puis T : $P(D \cap T) = P(D) \times P_D(T) = x \times 0{,}96$.
$\boxed{P(D \cap T) = 0{,}96x}$

Les événements D et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :
$P(T) = P(D \cap T) + P(\overline{D} \cap T) = 0{,}96x + (1 - x) \times 0{,}03 = 0{,}96x + 0{,}03 - 0{,}03x$.
$\boxed{P(T) = 0{,}93x + 0{,}03}$

Avec 50 sportifs dopés sur 1000, la proportion de sportifs dopés est $x = \frac{50}{1000} = 0{,}05$.
La probabilité cherchée est $P_T(D) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}96x}{0{,}93x + 0{,}03} = f(x)$, donc elle vaut $f(0{,}05)$.
$f(0{,}05) = \frac{0{,}96 \times 0{,}05}{0{,}93 \times 0{,}05 + 0{,}03} = \frac{0{,}048}{0{,}0765} \approx 0{,}627$.
$\boxed{P_T(D) = f(0{,}05) \approx 0{,}63}$

La valeur prédictive positive est $P_T(D) = f(x)$ (même calcul qu'à la question 4, pour une proportion x quelconque). On résout $f(x) \geqslant 0{,}9$ sur $[0 \,;\, 1]$. Comme $0{,}93x + 0{,}03 > 0$, on peut multiplier les deux membres par ce nombre sans changer le sens de l'inégalité :
$\frac{0{,}96x}{0{,}93x + 0{,}03} \geqslant 0{,}9 \iff 0{,}96x \geqslant 0{,}837x + 0{,}027 \iff 0{,}123x \geqslant 0{,}027 \iff x \geqslant \frac{0{,}027}{0{,}123} = \frac{9}{41}$.
Or $\frac{9}{41} \approx 0{,}2195$. La valeur prédictive positive est supérieure ou égale à $0{,}9$ dès que $\boxed{x \geqslant \frac{9}{41} \approx 0{,}22}$, c'est-à-dire dès qu'environ 22 % des sportifs sont dopés.

En ciblant les sportifs supposés plus fréquemment dopés, la proportion x de sportifs dopés parmi les sportifs testés augmente. Or la valeur prédictive positive vaut $f(x)$ et, d'après la partie A, f est strictement croissante sur $[0 \,;\, 1]$.
Donc la valeur prédictive positive augmente : $\boxed{\text{un test positif devient plus fiable}}$ (la probabilité qu'un sportif déclaré positif soit réellement dopé est plus grande).