Brevet de maths 2022 Polynésie septembre : sujet et corrigé

Cet exercice est constitué de six questions indépendantes.

Calculer $\frac{5}{6} + \frac{7}{8}$ et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

Méthode : on réduit les deux fractions au même dénominateur. Le plus petit dénominateur commun de 6 et 8 est 24.
$\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$ (on multiplie par 4) et $\frac{7}{8} = \frac{21}{24}$ (on multiplie par 3).
Donc $\frac{5}{6} + \frac{7}{8} = \frac{20}{24} + \frac{21}{24} = \frac{41}{24}$.
Conclusion : 41 est un nombre premier et ne se simplifie pas avec 24 ; la fraction $\frac{41}{24}$ est irréductible.

Décomposition en facteurs premiers :
$198 = 2 \times 99 = 2 \times 3 \times 33 = 2 \times 3 \times 3 \times 11$, soit $198 = 2 \times 3^{2} \times 11$.
$84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7$, soit $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$.

Rendre irréductible la fraction $\frac{198}{84}$.
$\frac{198}{84} = \frac{(2 \times 3 \times 3 \times 11)}{(2 \times 2 \times 3 \times 7)}$.
On simplifie par 2 puis par 3 (facteurs communs au numérateur et au dénominateur) :
$\frac{198}{84} = \frac{(3 \times 11)}{(2 \times 7)} = \frac{33}{14}$.
Conclusion : $33 = 3 \times 11$ et $14 = 2 \times 7$ n'ont plus de facteur commun, donc $\frac{33}{14}$ est irréductible.

Développer et réduire $E = 5(3x - 4) - (2x - 7)$.
$E = 5 \times 3x - 5 \times 4 - 2x + 7$
$E = 15x - 20 - 2x + 7$
$E = 13x - 13$.
Attention au signe « − » devant la parenthèse : il change les signes de 2x et de $-7$.

Déterminer le nombre positif b tel que le périmètre du rectangle soit égal à 25.
D'après la figure, la longueur du rectangle vaut $3b + 2{,}9$ (soit $b + b + b + 2{,}9$) et sa largeur vaut 4,5.
Le périmètre est $P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) = 2 \times (3b + 2{,}9 + 4{,}5) = 2 \times (3b + 7{,}4) = 6b + 14{,}8$.
On résout : $6b + 14{,}8 = 25$
$6b = 25 - 14{,}8$
$6b = 10{,}2$
$b = \frac{10{,}2}{6} = 1{,}7$.
Conclusion : $b = 1{,}7$.

Calculer le volume de la pyramide à base rectangulaire, de hauteur $SH = 6$.
Formule : $V = \frac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$.
La base est un rectangle de dimensions 4 et 3, donc son aire vaut $4 \times 3 = 12$.
$V = \frac{12 \times 6}{3} = \frac{72}{3} = 24$.
Conclusion : le volume de la pyramide est $24\,\text{cm}^{3}$ (en unités cohérentes avec la figure).

La population a augmenté de 12 % entre 2019 et 2020, et vaut 20 692 habitants en 2020. Trouver la population de 2019.
Augmenter de 12 % revient à multiplier par $1 + \frac{12}{100} = 1{,}12$.
En notant x la population de 2019 : $1{,}12 \times x = 20 692$.
Donc $x = \frac{20692}{1{,}12} = 18 475$.
Vérification : $18 475 \times 1{,}12 = 20 692$. ✓
Conclusion : en 2019, la ville comptait 18 475 habitants.